Fisika semester 1

Fisika SMA Kelas XI Semester 1

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

PERSAMAAN GERAK

Benda dikatakan bergerak jika posisi benda tersebut berubah terhadap suatu titik acuan.

Untuk mempermudah mempelajari konsep gerak suatu benda, maka gerakan benda

tersebut dinyatakan dalam suatu persamaan matematika yang disebut persamaan gerak.

Pembahasan akan ditekankan pada hubungan vector, turunan fungsi dan integral fungsi

dari suatu persamaan yang menyatakan posisi, kecepatan dan percepatan dari suatu

benda yang bergerak. Karena posisi benda berada pada suatu titik, maka benda yang

dimaksud dalam bab ini adalah benda titik.

1. Persamaan Posisi

Posisi dari benda titik dinyatakan dalam bentuk vektor. Berikut ini akan dijelaskan

mengenai vektor satuan dan vektor posisi.

a. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vector yang nilainya (besarnya) satu satuan . Dalam ruang ada

tiga vector satuan yaitu:

i dalam arah sumbu x

j dalam arah sumbu y

k dalam arah sumbu z

b. Vektor Posisi

Posisi suatu benda titik yang akan kita dibahas terletak dalam bidang XY, sehingga

vector satuan yang digunakan hanya dua yaitu i dan j.

Jika sebuah benda titik terletak di titik P dengan koordinat x,y maka posisi titik tersebut

dapat dinyatakan dalam vektor posisi:

r r  x i  y j 

Panjang vektor posisi r dapat dihitung dengan

persamaan:

r r  x2  y 2

Misalkan ada sebuah vektor:

a = 2i + 3j + 3k

Artinya panjang a dalam arah sumbu x

adalah 2 satuan, panjang dalam arah y

adalah 3 satuan dan panjang dalam arah z

Contoh Soal 1:

Sebuah benda berada dalam bidang datar XOY pada koordinat (4,3). Tentukan:

a.Vektor posisi benda tersebut

b.Jarak benda dari sumbu koordinat (besar vektor)

c.Sudut yang dibentuk posisi benda terhadap sumbu X

Jawab:

a.Untuk koordinat (4,3) maka vektor posisinya adalah r = 4i + 3j

b.Panjang vektor : r  42 32  169  25 5

c.Arahnya adalah :  = tgn –1 (y/x)

 = tgn –1 (3/4) = 36,860

c. Perpindahan

Sebuah benda titik yang berada dalam bidang XY bergerak dari titik A dengan koordinat

(x1,y1) menuju titik B dengan koordinat (x2, y2) dengan bentuk lintasan sembarang

seperti pada gambar berikut:

Vektor posisi dititik A adalah:

rA = x1i + y1j

Vektor posisi dititik B adalah:

rB = x2i + y2j

Sehingga perpindahan dari titik A ke B adalah:

r = rB - rA

r = (x2i + y2j ) – (x1i + y1j)

r = (x2 –x1) i + (y2 – y1 ) j

atau r = x i + y j

Contoh Soal 2:

Sebuah benda titik bergerak dalam bidang XOY dari titik P(2,4) menuju Q(6,3).

Tentukan:

a. persamaan vektor posisi di titik P

b. persamaan vektor posisi di titik Q

c. vektor perpindahan benda tersebut dari P ke Q

d. besar perpindahannya

e. arah perpindahan.

Diket: P (2,4)

Q (6,3)

rA

A (x1,y1)

B (x2,y2)

rB

r

y1

y2

x1 x2



Fisika SMA Kelas XI Semester Ganjil

Kinematika

3

Dit: a. rp b. rQ c. r d. r e. 

Jawab:

a. P (2,4) maka rP = 2i + 4j

b. Q (6,3) maka rQ = 6i + 3j

c. r = (x2 –x1) i + (y2 – y1 ) j = (6-2)i+ (3-4)j

r = 4i – j

d. r  x2  y 2 = 42  (1)2

 161

 17 4,123

e.  = tgn –1 (y/x)

 = tgn –1 (-1/4)

 = tgn –1 (- 0,25)

 = -14,0360

Contoh Soal 3:

Vektor posisi suatu benda dinyatakan oleh persamaan r = 3t2i – (t2 + t) j , t dalam sekon

dan r dalam meter. Tentukan besar perpindahan benda dari t = 1 sekon sampai t = 2

sekon.

Jawab:

Tentukan terlebih dulu vector posisi benda pada t = 1 sekon dan t = 2 sekon dengan

memasukkan nilai t ke dalam persamaan r

Pada t = 1 sekon , maka r1 = 3t2i – (t2 + t) j

r1 = 3.12 i – (12 + 1) j

r1 = 3 i – 2j

Pada t = 2 sekon, maka r2 = 3t2i – (t2 + t) j

r2 = 3.22i – (22 + 2) j

r2 = 12 i – 6j

Besar vektor perpindahannya adalah:

r meter

r

r y

97

81 16

2 92 42

 

  

  x2   

Vektor perpindahannya adalah:

r = r2 - r1

r = (12 i – 6j) – (3 i – 2j)

r = (12 i – 3i) + (-6 j + 2j)

r = 9i – 4j

Fisika SMA Kelas XI Semester Ganjil

Kinematika

4

LATIHAN 1.1.

1. Sebuah benda berada dalam bidang XOY dan terletak pada suatu titik dengan

koordinat (8,-11). Tentukan:

a.Vektor posisi benda tersebut

b. Jarak benda dari sumbu koordinat (besar vektor)

c. Sudut yang dibentuk posisi benda terhadap sumbu X.

2. Sebuah benda titik bergerak dalam bidang XOY dari titik P(3,2) menuju Q(7,5).

Tentukan:

a.persamaan vektor posisi di titik P

b.persamaan vektor posisi di titik Q

c.vektor perpindahan benda tersebut dari P ke Q

d.besar perpindahannya

e.arah perpindahan.

3. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan vector posisi : r = (2t2-t)i + (t3 + t)j

dalam satuan SI. Tentukan besar perpindahan partikel dari t = 1 sekon sampai t = 2

sekon.

2. Kecepatan

Kecepatan merupakan besaran vektor yang menyatakan laju perubahan posisi

(perpindahan) terhadap waktu. Selama benda bergerak, mungkin saja kecepatannya

berubah baik besar maupun arahnya. Akan tetapi, kita dapat menyatakan kecepatan

benda dalam interval waktu tertentu sebagai kecepatan rata-rata dan kecepatan

benda pada suatu titik tertentu selama geraknya sebagai kecepatan sesaat.

a. Kecepatan Rata-rata

Pada saat benda bergerak dalam ruang, lintasannya

secara umum berbentuk kurva. Selama interval

waktu t benda bergerak dari titik A dengan vektor

posisi r1 menuju titik B dengan vektor posisi r2.

Perubahan posisi (perpindahan) selama interval

waktu tersebut adalah

r = r2 – r1

Kecepatan rata-rata adalah hasil bagi antara

perpindahan dengan interval waktu

Kinematika

6

Sehingga: r = r2 - r1

r = (-2 i +2j) – (-2 i - j)

r = (-2 i +2 i) + (2j + j)

r = 0i + 3j

r = 3j

Dengan demikian:

(b) Besar vektor kecepatan rata-ratanya adalah: (c) Arahnya:

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat dapat diartikan sebagai laju perubahan posisi sesaat yaitu limit

kecepatan rata-rata untuk selang waktu mendekati nol. Secara matematis dituliskan

dalam persamaan:

Jadi persamaan kecepatan sesaat adalah turunan pertama dari persamaan posisi

Untuk mencari besar dan arah kecepatan sesaat sama dengan pada kecepatan rata-rata.

Fisika SMA Kelas XI Semester Ganjil

Kinematika

7

c. Menentukan persamaan posisi dari fungsi kecepatan

Apabila kecepatan benda setiap saat sebagai fungsi waktu v(t), posisi awal (r0) dan

waktu awal gerakan (t) diketahui, maka persamaan posisi sebagai fungsi t dapat

ditentukan dengan metode integral.

Atau: r   v dt

Contoh Soal 7:

Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan kecepatan v = -2t + 8 m/s.

Jika pada t = 0 posisi benda adalah x = -5 meter , tentukan persamaan posisi benda

sebagai fungsi t dan hitung posisi benda pada t = 4 sekon.

Jawab:

Kinematika

3. Percepatan

Percepatan merupakan besaran vector yang menyatakan laju perubahan kecepatan

terhadap waktu. Seperti halnya kecepatan, kita mengenal adanya percepatan rata-rata

dan percepatan sesaat. Akan tetapi dalam banyak hal kita akan membatasi pembahasan

pada percepatan yang nilainya konstan sehingga percepatan rata-rata sama dengan

percepatan sesaat dan dengan singkat disebut percepatan. Gerak benda yang bergerak

dengan percepatan konstan disebut dengan gerak lurus beraturan, dan hal ini sudah

dipelajari di kelas X.

a. Percepatan rata-rata

Misalkan sebuah benda selama selang waktu t , benda tersebut bergerak dari titik P1

dengan kecepatan v1 menuju titik P2 sehingga kecepatannya menjadi v2. Perubahan

kecepatan selama interval waktu tersebut adalah:

v = v2 – v1

Percepatan rata-rata adalah hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan interval

waktu