matematika semester 2

MATEMATIKA semester 2

KOMPOSISI FUNGSI DAN

 FUNGSI INVERS

Kodomain = daerah kawan (K)

Range        = daerah hasil (R)

   Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domain

B disebut kodomain

Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x Î A ke y Î B dikatakan  y adalah  

         peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A

disebut range atau daerah hasil

      contoh 1

Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2

Tentukan domain dari fungsi f.

      Jawab

Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.

1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.

Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.

    

     contoh 2

Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x

Tentukan : a. f(x)

                  b. f(-3)

    Jawab

         Misal y = x – 1 maka x = y + 1

karena f(x – 1) = x2 + 5x

maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)

         f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5

         f(y) = y2 + 7y + 6

         f(y) = y2 + 7y + 6

  a. f(x)    = x2 + 7x + 6

  b. f(-3)  = (-3)2 + 7(-3) + 6

               = 9 – 21 + 6

               = -6 

Contoh 3:        

Fungsi f : A         B tentukan domain, kodomain dan range

 

Domain     = {a,b,c}

Kodomain = {1,2,3,4}

Range        = {1,3,4}

      2. Komposisi Fungsi

3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

         Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)        

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)   

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

4.  Fungsi Invers

v  Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh:                       f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^-1 : x = f(y)    

 

  (f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)

v  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

      i.   f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f ^-1(x) =; a ≠ 0

      ii.  f(x) = ; x ≠ ®  f ^-1(x) = ; x ≠

      iii. f(x) = a^cx ; a > 0  ®  f ^-1(x) = ^alog x^1/c =^alog x ; c ≠ 0

      iv. f(x) = ^a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f ^-1(x) = c ≠ 0

      v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f ^-1(x)=

Catatan:

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh 5:

Diketahui f: R ®  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f ^-1 (x)!
Cara 1:

y = 2x - 5 (yang berarti x = f ^-1(y))
2x = y + 5

f ^-1(x)

f(x) = ax + b  ®  f ^-1(x) =

f(x) = 2x – 5  ®  f ^-1(x) =

y(x - 4) = 2x + 1

yx – 4y = 2x + 1

yx – 2x = 4y + 1

x(y – 2) = 4y + 1

f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) =

y(3x - 4) = 2x

3xy – 4y = 2x

3xy – 2x = 4y

x(3y – 2) = 4y

3k – 2 = 4k

k = -2

Cara 2:

   f ^-1(k) = a  ®  k = f(a)

Contoh 8:

Diketahui f(x) = 5^2x, tentukan  f ^{– 1} (x)!

Cara 1:

y = 5^2x (ingat rumus logaritma: a ⁿ = b ® n =

Cara 2:

f(x) = a^cx  ®  f ^-1(x) = ^alog x

f(x) = 5^2x  ® f ^{– 1} (x) =

Contoh 9:

Diketahui f(x) = x² – 6x + 4, tentukan f^–1 (x)!

Cara 1:

y = x² – 6x + 4

y – 4 = x² – 6x

y – 4 = (x – 3) ² – 9

y + 5 = (x – 3) ²

x – 3 = ±

 (x) = 3 ±

Cara 2:

f(x) = ax²+bx+c ®  f ^-

Diketahui , tentukan  f ^{– 1} (x)!

  f(x) = [g ^-1 o (g o f)](x)

f(x) = 

Cara 1:

(g o f)(x) = 

g(f(x)) = 

g(2x-1) =

g(x) = 

5. Invers Dari Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f ^-1 dan g^-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke 

Fungsi (g o f) ^-1 memetakan z  ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g^-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f ^-1. Sehingga (g o f)^-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f^-1 0 g^-1). Seperti tampak pada diagram berikut.

Jadi diperoleh hubungan:

         (g o f) ^-1 (x) = (f ^-1 o g ^-1)(x)